Vamos utilizar a propriedade distributiva para provar a soma e diferença de cubos.
Soma de cubos:
Temos o polinômio:
$$(x+y).(x²+y²-xy)$$
e se resolvermos ele obteremos os seguintes resultados:
$$x³-x²y+xy²+x²y-xy²+y³$$
Quando subtrairmos os monômios semelhantes, teremos:
$$x³+y³$$
Então, a forma fatorada da soma de cubos é: $$x³+y³=(x+y).(x²+y²-xy)$$.
Diferença de cubos:
Na fatoração da diferença de dois cubos muda apenas alguns sinais. Suponhamos que temos o polinômio:
$$(x-y).(x²+y²+xy)$$
e se resolvermos ele obteremos os seguintes resultados:
$$(x-y).(x²+y²+xy)$$
Fazendo a propriedade distributiva, teremos:
$$x³+x²y+xy²-x²y-xy²-y³$$
Agora subtraímos os monômios semelhantes:
$$x³-y³$$
Então, a forma fatorada da diferença de cubos é: $$(x^3-y^3)=(x-y).(x²+y²+xy)$$.
Preste bem atenção nos sinais que foram usados em cada um tipo de fatoração e no jogo de sinais.
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